Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII · Fase F MPI Interaktif

Irisan Kerucut : Parabola, Elips, Hiperbola

Visualisasi dinamis, materi lengkap, contoh soal bertahap, dan kuis interaktif untuk menguasai konsep irisan kerucut.

Selamat datang di MPI Irisan Kerucut

Pelajari parabola, elips, dan hiperbola melalui pendekatan visual dan latihan interaktif. Media ini dirancang untuk membantumu memahami konsep secara mendalam.

📈 3 jenis kurva 🖱️ Simulasi dinamis 📝 12+ contoh soal 🧠 15 soal kuis
① Kenali bentuk persamaanBedakan bentuk standar parabola, elips, dan hiperbola berdasarkan suku kuadrat dan tandanya.
② Hubungkan parameter & grafikAmati pengaruh parameter a dan b terhadap lebar, tinggi, dan posisi kurva.
③ Bangun intuisi geometriPahami unsur-unsur seperti fokus, direktriks, asimtot, domain, dan jangkauan.

📌 Langkah Belajar

  1. Simulasi – Eksplorasi grafik dengan mengubah parameter dan posisi titik.
  2. Materi – Baca penjelasan konsep, rumus, dan tabel perbandingan.
  3. Contoh – Pelajari 12+ soal dengan pembahasan langkah demi langkah.
  4. Kuis – Uji pemahaman dengan 15 soal dan dapatkan umpan balik.
  5. Refleksi – Tuliskan kesimpulan dan konsep yang kamu kuasai.
💡 Tips: Mulai dari Simulasi untuk melihat visualisasi, lalu baca materi untuk memperdalam teori, dan akhiri dengan kuis.

Grafik Dinamis

Parabola vertikal (buka atas) dengan puncak di (0,0).
Kurva Titik
Kesimpulan: pada parabola y = x²/(4a), semakin besar a maka kurva semakin lebar.

📖 Materi & Konsep

Cara Cepat Mengenali Jenis Kurva

Perhatikan suku kuadrat pada persamaan. Setelah disederhanakan ke bentuk standar, tanda dan jumlah suku kuadrat menjadi petunjuk utama.

ParabolaHanya satu variabel berpangkat dua. Contoh: x² = 12y atau y² = −8x.
ElipsAda x² dan y² dengan tanda sama. Contoh: 4x² + 9y² = 36.
HiperbolaAda x² dan y² dengan tanda berbeda. Contoh: 9x² − 16y² = 144.
Catatan: Sebelum menentukan jenis kurva, ubah persamaan ke bentuk standar. Koefisien tidak mengubah jenis, yang penting adalah pola suku kuadrat dan tandanya.

1. Parabola

Himpunan titik yang berjarak sama terhadap fokus dan direktriks.

Vertikal (buka atas/bawah)

x² = 4py   (puncak di 0,0)
  • p > 0 → buka ke atas; p < 0 → buka ke bawah
  • Fokus: (0,p), direktriks: y = −p

Horizontal (buka kanan/kiri)

y² = 4px   (puncak di 0,0)
  • p > 0 → buka ke kanan; p < 0 → buka ke kiri
  • Fokus: (p,0), direktriks: x = −p

Bentuk bergeser (puncak di h,k)

(x−h)² = 4p(y−k)   (vertikal)
(y−k)² = 4p(x−h)   (horizontal)

Fokus dan direktriks bergeser mengikuti puncak.

Ringkasan: Jika variabel yang dikuadratkan adalah x → vertikal; jika y → horizontal.

2. Elips

Himpunan titik yang jumlah jarak ke dua fokus tetap.

x²/a² + y²/b² = 1   (a > b)
  • Pusat: O(0,0)
  • Puncak utama: (±a,0)
  • Puncak samping: (0,±b)
  • Fokus: (±c,0), c² = a² − b²

Domain: |x| ≤ a, |y| ≤ b. Kurva tertutup.

(x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1

Bentuk bergeser dengan pusat (h,k).

3. Hiperbola

Himpunan titik yang selisih mutlak jarak ke dua fokus tetap.

x²/a² − y²/b² = 1
  • Pusat: O(0,0)
  • Puncak: (±a,0)
  • Fokus: (±c,0), c² = a² + b²
  • Asimtot: y = ±(b/a)x

Domain: |x| ≥ a. Grafik memiliki dua cabang.

(x−h)²/a² − (y−k)²/b² = 1

Bentuk bergeser dengan pusat (h,k).

Perbandingan Cepat

KurvaCiri PersamaanBentuk GrafikFokusRumus Utama
Parabola Vertikalx² = 4pyBuka atas/bawah(0,p)p > 0 atas, p < 0 bawah
Parabola Horizontaly² = 4pxBuka kanan/kiri(p,0)p > 0 kanan, p < 0 kiri
Elipsx²/a² + y²/b² = 1Tertutup(±c,0)c² = a² − b²
Hiperbolax²/a² − y²/b² = 1Dua cabang(±c,0)c² = a² + b²

📝 Contoh Soal & Pembahasan (12+)

Parabola Vertikal
Diketahui parabola x² = 12y. Tentukan puncak, fokus, direktriks, dan arah bukaan.
Bandingkan x² = 4py → 4p = 12 → p = 3.
Puncak V(0,0), fokus F(0,3), direktriks y = −3.
Karena p > 0, parabola membuka ke atas.
Jawaban: V(0,0), F(0,3), direktriks y = −3, buka ke atas.
Parabola Horizontal
Tentukan puncak, fokus, dan direktriks dari y² = 8x.
Bandingkan y² = 4px → 4p = 8 → p = 2.
Puncak V(0,0), fokus F(2,0), direktriks x = −2.
p > 0 → membuka ke kanan.
Jawaban: V(0,0), F(2,0), direktriks x = −2, buka ke kanan.
Parabola Bergeser
Tentukan puncak, fokus, dan direktriks dari (x−2)² = 12(y+1).
Bentuk standar: (x−h)² = 4p(y−k) → h=2, k=−1, 4p=12 → p=3.
Puncak V(2,−1), fokus F(2, −1+3) = F(2,2).
Direktriks: y = k−p = −1−3 = −4.
p > 0 → buka ke atas.
Jawaban: V(2,−1), F(2,2), direktriks y = −4, buka ke atas.
Parabola Bergeser
Tentukan puncak, fokus, dan direktriks dari (y+3)² = 16(x−1).
Bentuk standar: (y−k)² = 4p(x−h) → k=−3, h=1, 4p=16 → p=4.
Puncak V(1,−3), fokus F(1+4, −3) = F(5,−3).
Direktriks: x = h−p = 1−4 = −3.
p > 0 → buka ke kanan.
Jawaban: V(1,−3), F(5,−3), direktriks x = −3, buka ke kanan.
Elips
Elips x²/25 + y²/9 = 1. Tentukan pusat, a, b, dan fokus.
a² = 25 → a = 5, b² = 9 → b = 3.
c² = a² − b² = 16 → c = 4.
Pusat (0,0), fokus (±4,0), puncak utama (±5,0).
Jawaban: Pusat (0,0), a=5, b=3, fokus (±4,0).
Hiperbola
Hiperbola x²/16 − y²/9 = 1. Tentukan puncak, fokus, dan asimtot.
a² = 16 → a = 4, b² = 9 → b = 3.
c² = a² + b² = 25 → c = 5.
Puncak (±4,0), fokus (±5,0), asimtot y = ±(3/4)x.
Jawaban: Puncak (±4,0), fokus (±5,0), asimtot y = ±¾x.
Parabola Vertikal
Tentukan fokus dan direktriks dari x² = −16y.
4p = −16 → p = −4.
Fokus (0,−4), direktriks y = 4.
p < 0 → buka ke bawah.
Jawaban: F(0,−4), direktriks y = 4, buka ke bawah.
Parabola Horizontal
Parabola y² = −20x memiliki fokus dan direktriks?
4p = −20 → p = −5.
Fokus (−5,0), direktriks x = 5.
p < 0 → buka ke kiri.
Jawaban: F(−5,0), direktriks x = 5, buka ke kiri.
Elips
Elips x²/9 + y²/25 = 1. Tentukan a, b, dan fokus.
a² = 25 (karena terbesar) → a = 5, b² = 9 → b = 3.
c² = a² − b² = 16 → c = 4.
Fokus (0, ±4), sumbu mayor vertikal.
Jawaban: a=5, b=3, fokus (0, ±4).
Hiperbola
Hiperbola y²/16 − x²/9 = 1. Tentukan puncak dan asimtot.
a² = 16 → a = 4, b² = 9 → b = 3.
Puncak (0, ±4), asimtot y = ±(a/b)x = ±(4/3)x.
Jawaban: Puncak (0, ±4), asimtot y = ±4/3 x.
Identifikasi
Tentukan jenis kurva dari 4x² − 9y² = 36.
Bagi 36 → x²/9 − y²/4 = 1.
Suku x² dan y² berbeda tanda → Hiperbola.
Jawaban: Hiperbola.
Identifikasi
Tentukan jenis kurva dari y² = 6x + 4.
Ubah: y² = 6x + 4 → y² = 4p(x−h) dengan 4p=6 → p=1,5.
Hanya y yang dikuadratkan → Parabola horizontal.
Jawaban: Parabola horizontal (buka kanan).

Identifikasi Jenis Kurva dari Persamaan Umum

PersamaanLangkahBentuk StandarJenis
4x² + 9y² = 36Bagi 36x²/9 + y²/4 = 1Elips
9x² − 16y² = 144Bagi 144x²/16 − y²/9 = 1Hiperbola
x² − 8y = 0Pindahkanx² = 8y → p=2Parabola vertikal
y² = −12xLangsungy² = −12x → p=−3Parabola horizontal (kiri)
(x−1)² = 8(y+2)Bentuk standar(x−1)² = 8(y+2)Parabola vertikal bergeser

Strategi: (1) Sederhanakan, (2) ubah ruas kanan menjadi 1 jika mungkin, (3) perhatikan tanda dan jumlah suku kuadrat.

🎯 Kuis Pemahaman (15 Soal)

Pilih satu jawaban. Setelah diperiksa, setiap soal menampilkan pembahasan singkat.

✍️ Refleksi Belajar

Setelah eksplorasi dan kuis, refleksikan pemahamanmu. Jawaban tidak dikirim ke server.